Dieses Tutorial zeigt, wie Sie mit der Binomialverteilung in Excel und Google Sheets arbeiten.
Übersicht über die BINOMDIST-Funktion
Mit der BINOMDIST-Funktion in Excel können wir zwei Dinge berechnen:
- Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von binären Ergebnissen auftreten (z. B. die Wahrscheinlichkeit, eine Münze 10 Mal zu werfen, und genau 7 Versuche, die als Kopf landen).
- Die kumulative Wahrscheinlichkeit (Bsp. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze 0-7 mal auf Kopf landet).
Was ist die Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung umfasst den Bereich der Wahrscheinlichkeiten für jedes binäre Ereignis, das sich im Laufe der Zeit wiederholt. Angenommen, Sie werfen 10 Mal eine faire Münze. Sicherlich „erwartest“ du, dass es 5 Kopf zu und 5 Zahl gibt, aber am Ende kannst du immer noch 7 Kopf und 3 Zahl haben. Die Binomialverteilung ermöglicht es uns, die genauen Wahrscheinlichkeiten dieser verschiedenen Ereignisse sowie die Gesamtverteilung der Wahrscheinlichkeit für verschiedene Kombinationen zu messen.
Die Wahrscheinlichkeit einer beliebigen Anzahl von Erfolgen innerhalb der Binomialverteilung (auch Bernoulli-Versuch genannt) lautet wie folgt:
Woher:
n = die Anzahl der Versuche
x = die Anzahl der „Erfolge“
p = Erfolgswahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Versuch
q = die Wahrscheinlichkeit des Scheiterns für jeden einzelnen Versuch, auch als 1-p bezeichnet.
Beispiel für eine Binomialverteilung
Im obigen Beispiel, in dem Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln, 7 von 10 Köpfen auf einer fairen Münze zu landen, können Sie die folgenden Werte eingeben:
| 1234 | n = 10x = 7p = 0,5q = 0,5 |
Nach dem Lösen landen Sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1172 (11,72 %) darauf, dass genau 7 der 10 Flips auf Kopf landen.
Excel-Beispiele für Binomialverteilungen
Um die individuellen und kumulativen Wahrscheinlichkeiten in Excel zu finden, verwenden wir die BINOMDIST-Funktion in Excel. Unter Verwendung des obigen Beispiels mit 7 von 10 Münzen, die Kopf ergeben, wäre die Excel-Formel:
| 1 | =BINOMIST (7, 10, 1/2, FALSCH) |
Woher:
- Das erste Argument (7) ist x
- das zweite Argument (10) ist n
- Das dritte Argument (½) ist p
- Das vierte Argument (FALSE), wenn TRUE, lässt Excel die kumulative Wahrscheinlichkeit für alle Werte kleiner oder gleich x berechnen.
Binomialverteilungstabelle & Diagramm
Als nächstes erstellen wir a Wahrscheinlichkeitsverteilungstabelle im Excel-Format. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet die Wahrscheinlichkeit jeder Anzahl von Ereignissen.
| 1 | =BINOMIST(B10,10, 1/2, FALSCH) |
Wenn Sie diese Tabelle lesen: Es besteht eine ungefähre Wahrscheinlichkeit von 12%, dass genau 7 von 10 Münzen mit Kopf erscheinen.
Wir können ein Diagramm aus der obigen Tabelle der binomialen Wahrscheinlichkeitsverteilung erstellen.
Binomialverteilungsdiagramm
Beachten Sie, dass die Binomialverteilung für dieses Experiment bei x=5 ihren Höhepunkt erreicht. Dies liegt daran, dass die erwartete Anzahl von Köpfen beim 10-maligen Werfen einer fairen Münze 5 beträgt.
Binomiale kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung
Alternativ können Sie sich stattdessen auf die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung konzentrieren. Dies misst die Wahrscheinlichkeit, dass eine Anzahl von Erfolgen kleiner oder gleich einer bestimmten Anzahl ist.
In grafischer Form sieht es so aus:
Um die kumulative Wahrscheinlichkeit zu berechnen, können Sie die im vorherigen Abschnitt berechneten Einzelwahrscheinlichkeiten einfach aufsummieren.
Oder Sie verwenden die BINOMDIST-Funktion wie folgt:
| 1 | =BINOMIST(B10, 10, 1/2, WAHR) |
Beachten Sie, dass wir zur Berechnung der kumulativen Wahrscheinlichkeit das letzte Argument auf TRUE statt auf FALSE setzen.
Mathematisch lässt sich diese Formel wie folgt ausdrücken:
BINOM.DIST.RANGE - Finden Sie die Wahrscheinlichkeit des Wertebereichs
Während BIMOMDIST dazu dient, die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen diskreten Punktes zu ermitteln, ermöglicht uns die Funktion BINOM.DIST.RANGE, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, einen bestimmten Bereich von Erfolgen zu erzielen.
Am Beispiel Kopf oder Zahl können wir mit der folgenden Formel die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass zwischen 6 und 8 unserer 10 Versuche Kopf landen.
| 1 | =BINOM.ABST.BEREICH(10, 0,5, 6, 8) |
Binomialer Erwartungswert - E(x)
Für eine Binomialverteilung von n Bernoulli-Versuchen können wir den Erwartungswert für die Anzahl der Erfolge ausdrücken:
Dies kann in Excel wie folgt berechnet werden:
| 1 | =B5*B6 |
Binomialvarianz - Var(x)
Um die Varianz der Verteilung zu berechnen, verwenden Sie die Formel:
Dies kann in Excel wie folgt berechnet werden:
| 1 | =B6*C6*(1-C6) |
